カテキョウブログ

Page4. 入出量が分からない問題

• 難易度★★
• 入ってくる量と出ていく量の両方が分かっていない問題です。
• 方程式を使ってはいけません。
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問題 ①

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解答 ①

(1) ① 35人　② 10分

(2) ① 20L　② 6分40秒

解説 ①

＊＊ご両親へ＊＊　ニュートン算は「数値のやり取りの意味を理解する」ことと同時に「クリアに定式化された解法」が必要になります。理解と技の両方が必要ということですね。その意味で、慣れるまでは【ニュートン算の基本図】と【条件のまとめ】をしっかり書くことをお勧めします。また方程式を使って教えるのはお勧めしません。

(1)

僕の生徒が書いたノートを載のせます。

このように解とければよいでしょう。では順番じゅんばんに説明せつめいしていきます。

前のページ『入場にゅうじょうゲート』で説明したように、まずは【ニュートン算の基本図きほんず】を書いてみましょう。「何をしていいのか分からない」「問題の意味いみが分からない」という生徒せいとは、この図を書くことから始はじめてください。問題が整理せいりされて、分かりやすくなります。

簡単かんたんですね。増ふえる人を○、出ていく人（行列ぎょうれつから出て遊園地ゆうえんちに入っていく人）を□としています。□はゲート１か所しょから１分で出ていく人数です。

次に【条件じょうけんのまとめ】を書きましょう。ここでいう『条件』とは「もし〜だとしたら、・・・になる」とか「〜の場合ばあい、・・・になる」というようなものです。

この問題では条件じょうけんが２つありますね。「入場にゅうじょうゲートが１つの場合、８０分後に行列がなくなる」「入場ゲートが３つの場合、２４分後に行列がなくなる」の２つです。

１つ目の条件じょうけんでは、2400人たまっていた行列が80分でなくなるのですから、2400÷80=30人/分となります。行列にならんでいる人数が1分で30人ずつ減へっていくという意味です。

同じように、２つ目の条件じょうけんでは、2400÷24=100人/分となります。行列にならんでいる人数が1分で100人ずつ減へっていくんですね。

 ここまでで、ノートは下のようになっているといいでしょう。

ここまでは問題文に書いてあることをまとめるだけです。解とき方かたが分からなくても、「これは無理むり！」とすぐに諦あきらめるのではなく、ここまではなんとか進めてみることが大切です。

さて、ここからは少し工夫くふうが必要になります。

2400人が80分でいなくなるということは、１分で30人ずつ行列ぎょうれつに並ならんでいる人数にんずうが減へっているということですね。これはゲートを通る人数が毎分30人という意味いみではありません。ゲートを通って出ていく人数と入ってくる人数の差が30人ということです。

つまりこのような式が成り立ちます。

$$□ − ○ =30$$

このとき、行列の人数は減へっているのですから、入ってくる人数より出ていく人数が多いはずなので、□から○を引く必要ひつようがあります。逆ぎゃくにしないように気を付けましょう。

同じように、ゲートが３つの場合ばあいも、このように式にあらわすことができます。

$$□ + □ + □ − ○ =100$$

このことを下のようにまとめることができます。

２つの式の差さを考えると、□の２つ分が70になることが分かります。したがって

$$□ = 35人/分$$

これで□の値あたいが分かりました。そして□の値が分かれば○も分かります。

□ – ○ = 30という式の 、□のところに35を入れて

$$35 − ○ = 30$$

$$○ = 5$$

これでニュートン算の要かなめ（大切な所）である、「入ってくる量りょう」「出ていく量」「たまっている量（行列ぎょうれつ）」の全部ぜんぶが分かったことになります。こうなってしまえば、もう簡単かんたんです。分かったことを図にまとめておきましょう。

①の問題はもう終おわっていますね。答えは35人/分です。

②の問題に取とりかかりましょう。【基本図】をしっかり書いて、○と□が出ていれば、簡単かんたんに解とけます。

ゲートは７つになるのですから、ゲートを通る人数は、１分間に245人になるはずです。

$$35 × 7 = 245人/分$$

しかし毎分5人のペースで新しく行列ぎょうれつに並ならぶ人がいますから、実際じっさいに行列から減へっていく人数は、差さし引ひき毎分240人になります。

$$245 − 5 = 240人/分$$

毎分240人ずつ行列が減へっていくので、最初に2400人いた行列は10分でなくなります。

$$2400 ÷ 240 =10分$$

したがって答えは10分です。

最終的さいしゅうてきに、上に載のせたようなノートが書ければよいでしょう。

(2)

行列ぎょうれつと入場にゅうじょうゲートの問題でも、水槽すいそうとポンプの問題でも、やることは変かわりません。(1)と同じように解といてみましょう。

まずは【ニュートン算の基本図】と【条件のまとめ】を書くようにしましょう。最終的さいしゅうてきに下のようなノートが書けていればいいですね。

上の図を見て理解りかいできる人は、解説かいせつは必要ひつようないですね。図を書かなくても解とける人は省略しょうりゃくしても構かまいませんが、計算式けいさんしきを丸暗記まるあんきすることのないように気を付けましょう。

では１つずつ説明せつめいしていきます。まずは【ニュートン算の基本図きほんず】を書きましょう。

問題文に書いてあることをそのまままとめるだけですね。□はポンプ１台で１分に排出はいしゅつできる量りょう（出ていく量）を表あらわしています。

次に【条件じょうけんのまとめ】を書きます。

１つ目の条件じょうけんを見てみましょう。たまっていた水3600Lが30分でなくなるということは、毎分120Lずつ減へっていくということですね。これはポンプ２台から120L出ていくという意味ではありません。ポンプ２台から出ていく水と、入ってくる水の差さが120Lという意味いみです。

同じように、２つ目の条件じょうけんを見てみましょう。たまっていた水3600Lが9分でなくなるので、毎分400Lずつ減へっていることになりますね。ポンプ６台から出ていく水と、入ってくる水の差さが400Lという意味いみです。

１分間で入ってくる水を○、ポンプ１台から１分間で出ていく水を□としたので

このように表あらわすことができます。(1)の問題と違ちがって、□の数が多くなってしまうので、かけ算で表あらわしています。

いわゆる「消去算しょうきょざん」をすれば、□４個こ分ぶんが280Lにあたると分かります。

$$280÷4=70$$

ポンプ１台のパワーは70L/分ということになります。ポンプ１台で、１分間に、70Lの水をくみ出せるという意味いみです。

□が70と分かれば、□×2-○=120の式の、□のところに70を入れて

$$70×2-○=120$$

逆算ぎゃくさんをして

$$○=20$$

入ってくる量りょうが20L、出ていく量がポンプ１台あたり70Lと分かりました。ここまでで正解せいかいが決きまったようなものです。というのも、ニュートン算の３要素ようそ（大切たいせつなポイント）である「入ってくる量」「出ていく量」「たまっている量」の全部ぜんぶが分かったからです。

②の問題を解ときましょう。

ポンプ８台を使うので

$$70×8=560L/分$$

これはポンプ８台から１分間に出ていく量です。これとは別べつに１分間に20Lが入ってきているので

$$560-20=540L/分$$

差さし引ひきして、１分間に540Lが、たまっていた水から減へっていくことになります。

$$3600÷540=\frac {3600}{540}=\frac {20}{3}=6分40秒$$

この問題のように秒びょうまできかれる時は、答えが分数になるときです。こういう秒をきかれたときの分数の分母は、3か5になる場合ばあいが多いです。

問題 ②（数値替え問題１）

上の問題が解とけなかった生徒は、解説かいせつをよく理解りかいした上で、下の数値すうち替かえ問題にチャレンジしてみましょう。解説は割愛かつあいします。解答は下にあります。

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解答 ②

(1) ① 70人　② 1分48秒

(2) ① 15L　② 46分40秒

問題 ③（数値替え問題２）

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解答 ③

(1) ① 40人　② 5分36秒

(2) ① 15L　② 25分40秒

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