Page 3　立方体の中点を通る切断 ①

• 難易度★☆☆☆☆（1/5）
• 下に【解答】と【動画解説】と【解説】があります。
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【問題】

(1)

上図じょうずのような立方体りっぽうたいを３つの点P,Q,Rを通る平面で切断せつだんします。その切断面せつだんめんを図中ずちゅうに書き入れ、その図形の形を答えなさい。ただし、点P,Q,Rはそれぞれ、辺AE,BF,CGの中点ちゅうてんです。

 

(2)

上図のような立方体を３つの点A,S,Tを通る平面で切断します。その切断面を図中に書き入れ、その図形の形を答えなさい。ただし、点S,Tはそれぞれ、辺DC,BFの中点です。

 

 

【解答】

(1) 

正方形

 

(2)

長方形

 

【解説

「立体りったいの切断せつだんは『図形ずけいのセンス』が必要ひつようだ」などと言われることがありますが、それはまちがっています。立体の切断にセンスは必要ありません。

立体の切断に必要なのはセンスではなく、ひとつひとつの知識ちしきを順番じゅんばんにしっかり覚おぼえていくことです。そういう意味いみでは、暗記あんきに近ちかいですし、焦あせらずにひとつひとつ理解りかいしていけば誰だれでもできるようになります。

気を付けてほしいのは、いきなり難むずかしい問題を解とかないことです。かんたんなものから積つみ上げていくことが大切たいせつです。前ページの内容を理解してから、このページの問題に取り組んでください。

 

 

(1)

立体りったいの切断せつだんにおいてまず最初さいしょにすることは、『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』です。これは立体の切断の基本きほん中ちゅうの基本です。

注意ちゅういしてほしいのは、ここでの同一平面上とは、元の立体の外側そとがわの面上めんじょうのことです。元の立体の内側うちがわを通っているような面ではダメです。

一つずつ見ていきましょう。

問題文にある３点のP,Q,Rのうち、点Pと点Qに注目ちゅうもくします。

この２点は、元もとの立方体の前側まえがわの面めんABCDの上にのっています。これを『元もとの立体の同一どういつ外面上がいめんじょうにある』と呼よぶことにします。これをつなぎます。

次に、点Qと点Rに注目ちゅうもくすると、これも右側みぎがわの面めんBFGCの上にのっていますね。つまり『元もとの立体の同一どういつ外面上がいめんじょうにある』と言えます。ですから、これをつなぎます。

次つぎですが、残のこった点Pと点Rを、そのままつないでもよいでしょうか？試ためしにつないでみましょう。

点Pと点Rを結むすんだのが青い線せんですが、これはいけませんね。青線あおせんが元の立方体の中を貫つらぬいてしまっています。『切断面の辺へんは元もとの立体の内部ないぶを通とおっていてはいけない（ルール１）』というのを覚おぼえているでしょうか。忘わすれている生徒は前ページを見直みなおしてください。

前のページで説明せつめいしたのですが、切断面せつだんめんは大きさが無限むげんなので、途中とちゅうで切るのをやめるのはダメなんです。図ずを見れば、青線の所で切ることを止やめてしまっているのがわかりますね。

青い線は消けして考え直しましょう。もう『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』はできないので、『すでにわかっている点を始点してんにして、向むかい側がわの面めんにある線せんと平行へいこうになるように、線をひく（手順２）』という手順に進すすみます。難むずかしそうに聞こえますが、そんなことはありません。

上図じょうずのように、面BFGCと面AEHDは向むかい合っていますね。この２面は平行へいこうです。

ですから、QRと平行になるように、点Pから始はじめて線を引きます。それが赤線あかせんです。赤線と辺へんDHが交まじわった所ところに新しい点ができますね。それを点Iと決きめます。

QRとPIは平行になっているので、Iは辺DHの中点ちゅうてんになります。点P,Q,R,Iは、全部ぜんぶ中点ですね。

あとは簡単かんたんです。新しい点Iができたのですが、点Iと点Rは、どちらも後うしろ側がわの面DHGCの上にのっています。ですから、手順てじゅん１に戻もどって、点Iと点Rを直接ちょくせつつなげば終おわりです。

 

この切断面せつだんめんIPQRは、底面ていめんHEFGとや上側うえがわの面DABCと平行で、しかも合同ごうどうですね。合同というのは、形も大きさもまったく同じという意味いみです。

立方体りっぽうたいの外側そとがわの面は、全部が正方形なので、切断面も正方形と言えます。

すべての辺へんが同じ長さで、すべての角かくが90度だから、正方形である、とも言えますね。

 

(2)

これまでとやることは変かわりません。まずは『通とおることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』をするんでしたね。問題に示しめされている点A,S,Tのうち、同一外面がいめん上にある点を探さがしましょう。

上図じょうずのように、上側うえがわの面めんABCD上に、点Aと点Sの両方りょうほうがのっているので、同一どういつ外面がいめん上じょうにあるといえます。これをそのままつなぎます（赤線あかせん）。

次に、上図のように、後うしろ側がわの面めんDHGC上に、点Sと点Tがのっているので、これをつなぎます。

その次に点Aと点Tに注目ちゅうもくします。上図の青線あおせんのように、直接ちょくせつつないではいけないんでしたね。『切断せつだん面めんの辺へんは元もとの立体の内部ないぶを通とおっていてはいけない（ルール１）』というルールを覚おぼえているでしょうか。直線ATが元もとの立方体の内部ないぶを貫つらぬいてしまうので、そのままつなぐことはできないんです。

そこで、青線を消けして、次の手順てじゅんに進すすみます。

『すでにわかっている点を始点してんにして、向むかい側がわの面めんにある線せんと平行へいこうになるように、線をひく（手順２）』ですね。これの意味いみがわからない生徒は、前ページの(2)とこのページの(1)をよく読んでください。

上の面ABCDと、下の面EFGHは、向むかい合っている平行の面です。

切断面せつだんめんは点Tを通ることがわかっているのですから、点Tを通って、直線ASと平行になるように、面EFGH上に線をひきます（上図じょうずの赤線あかせん）。

この時、向かい合う平面上へいめんじょうには相似そうじの三角形ができることに注意ちゅういしてください。

上図は、立体の上の面と下の面を、真上まうえから見たものです。こうして見た時に、三角形DASと三角形HETが相似になるということです。相似なので、できあがる三角形の縦たてと横よこの比ひが同じになります。

今回こんかいの問題では上下の三角形が、相似そうじであるだけでなく、合同ごうどうになります。相似というのは形かたちが同じという意味で、合同というのは形と大きさの両方りょうほうが同じという意味いみです。

もう一度、順番じゅんばんに説明せつめいします。

もともとできている三角形DASの縦たてDAと横よこDCの比ひは2:1なので、下の面にできる三角形の縦と横の比も2:1になるということです。

今、下の三角形の横の長さHTはDSと同じ①だとわかっているので、縦の長さもDAと同じ②になります。すると、Tから引いた線が自然しぜんとEを通ることがわかります。

このようにして切断面はEを通ることがわかったので、あとは『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』に戻もどることができます。

EとAは同一どういつ平面へいめん上にあります。AEFB上でもありますし、DHEA上でもありますね。EAが２つの平面へいめんの交まじわる線になっているからです。

同一平面上にあるのですから、EとAはそのままつないでしまってかまいません（上図じょうずの赤線あかせん）。

これでできました。切断面はAETSですね。

この切断面の四角形AETSは特殊とくしゅな四角形と言えるでしょうか。

まずは、ASとETは平行です。そうなるように引ひいたのですから当然とうぜんですね。またAEとSTも平行です。向むかい合う辺へん２組くみが平行ですから、AETSは平行四辺形というところまではわかります。

次つぎに、対角線たいかくせんを見てみましょう。ATとESの長さは等ひとしいですね。平行四辺形だということがわかっていて、さらに対角線の長さが等しいのですから、長方形か正方形だとわかります。

最後さいごに、となり合あう辺へんの長さASとAEの長さが同じかどうか、見ていきましょう。

今、AEとADは同じ長さです（赤線あかせん）。またADとASを比べると、ASの方が長いですね。ということは、AEとASを比べても、ASの方が長いということになります。

長方形か正方形だと分かっていて、となり合う辺の長さが違ちがうのですから、AETSは長方形だと決まります。

 

上図じょうずのような流ながれで、四角形の形を決きめてもよいでしょう。このような順番じゅんばんで見ることで、少しずつ可能性かのうせいを絞しぼっていくことができます。

もう一度まとめると、今回の切断面の四角形は

• 向むかい合う辺へん２組くみが平行
• 対角線たいかくせんの長さが等ひとしい
• となり合う辺へんの長さが等しくない

という特徴とくちょうがあるので、長方形だとわかります。