Page 2　立方体の頂点のみを通る切断

• 難易度★☆☆☆☆（1/5）
• 下に【解答】と【動画解説】と【解説】があります。
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【問題】

(1)

上図じょうずのような立方体りっぽうたいを３つの頂点ちょうてんA,C,Fを通る平面で切断せつだんします。その切断面を図中ずちゅうに書き入れ、その図形の形を答えなさい。

 

(2)

 

上図のような立方体を３つの頂点A,D,Gを通る平面で切断します。その切断面を図中に書き入れ、その図形の形を答えなさい。

 

 

【解答】

(1) 

正三角形

 

(2)

長方形

 

【動画解説】

(1)

(2)

 

【解説】

「立体りったいの切断せつだんは『図形ずけいのセンス』が必要ひつようだ」などと言われることがありますが、それはまちがっています。立体の切断にセンスは必要ありません。

立体の切断に必要なのはセンスではなく、ひとつひとつの知識ちしきを順番じゅんばんにしっかり覚おぼえていくことです。そういう意味いみでは、暗記あんきに近ちかいですし、焦あせらずにひとつひとつ理解りかいしていけば誰だれでもできるようになります。

気を付けてほしいのは、いきなり難むずかしい問題を解とかないことです。かんたんなものから積つみ上げていくことが大切たいせつです。

このページの問題では、立体りったいの切断せつだんにおいて今後こんごずっと使うことになる考え方のポイントを説明せつめいしますので、「こんなのかんたんじゃん！」と思っても、しっかり読んでください。

 

(1)

この問題もんだいには直接ちょくせつ関係かんけいしないのですが、まず理解りかいしてほしいのは『同一平面上どういつへいめんじょう』という考え方かんがえかたです。

たとえば、A,B,C,Dという４点は上図じょうずのように、灰色はいいろで示した一つの平面の上にのっています。これを『同一平面上どういつへいめんじょうにある』と言います。

ちなみに、この灰色はいいろで示した平面は、本当は立方体りっぽうたいの１面だけでなく、下図かずのように、ずーーっと大きく広がっていることを覚おぼえておいてください。図に表あらわすことはできませんが、この平面の大きさはじつは無限むげんなんです。

さて、実際じっさいに切断面せつだんめんを書いていくときに必要ひつような手順てじゅんを説明せつめいしていきます。立体りったいの切断せつだんにおいてまず最初さいしょにすることは、『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』です。ここで言う同一平面上とは、元の立体の外側そとがわの面と、それを延長えんちょうした面の上ということです。どういうことか、実際じっさいにやっていきましょう。

まずは問題文もんだいぶんにある３点A,C,Fを赤い点で示しめしました。

このうち、AとCは、元もとの立方体りっぽういの上側うえがわの面めんABCDにのっていますね。ですからこれを結むすんでしまいます。このように元もとの立体の外側そとがわの面めんの上に２つ点があれば、直接ちょくせつつなげてしまって構かまいません。

こうなりますね。次にCとFを見てみましょう。これは元もとの立方体りっぽうたいの右側みぎがわの面めんBFGC上じょうにありますね。ですからこれを結むすんでしまいます。

こうなります。最後さいごはもうわかりますね。AとFが、元もとの立体りったいの前側まえがわの面めんAEFBの上にあります。これをつなげます。

これで３点A,C,Fがつながりました。『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』の意味いみがわかりましたか？

あとはこの切断面せつだんめんがわかるように斜線しゃせんを引ひけば完成かんせいです。

 

ところで、このできあがった切断面せつだんめんACFは三角形ですね。ですから「切断面の形は？」ときかれたら、「三角形です」と答えても間違まちがいではないのですが、特殊とくしゅな形の三角形であれば、どのような三角形かをくわしく答えなければなりません。

特殊とくしゅな形の三角形とは『正三角形、二等辺三角形、直角三角形、直角二等辺三角形』のことです。

今、三角形ACFの辺へんAFを正面しょうめんから見ると下図かずのようになっています。

またACとFCは次つぎのようになっています。

 

これは３辺さんぺんとも、正方形の対角線たいかくせんになっているので、同じ長さですね。立体的りったいてきに見た図では同じ長さに見えなくても、正面しょうめんから見てみると、わかりやすくなります。

このように辺へんの長さや角度かくどは、立体の図の『見みた目め』で決きめてはいけません。平面へいめんになおして、理屈りくつで考かんがえるようにしてください。理屈りくつで考えるとは、『なぜそうなるのか、自分の言葉ことばで説明せつめいできる』という意味いみです。

 

 

(2)

まず最初さいしょに確認かくにんするポイントは、『３点を通る面』と問題文に書いてあっても、４つ以上の点を通ることがあるということです。

解答かいとうの図を見ればわかりますが、たしかに問題文の通り、３点A,D,Gを通っていますが、もう１点Fも通っていますね。つまりA,D,Gを通る平面へいめんで切断せつだんすると、自然しぜんとFもその切断面の上にのってしまうということです。

では(1)と同じように、『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』からはじめていきましょう。

まずは問題文にある３点A,D,Gを赤い点で示しめしました。その中の２点AとDは、立方体りっぽうたいの左側ひだりがわの面であるADHEの上にありますね。ですからADを結むすんでしまいます。

次に、DGは立方体の後うしろ側がわの面であるDCGHの上にありますね。ですからDGを結むすびます。

さてここまでは大丈夫だいじょうぶでしょう。

ここで困こまったことがおきます。この先さき、AGをつなぎたくなりますよね。ですが、点AとGはもとの立方体りっぽうたいの同じ面の上にありません。立方体には上・下・左・右・前・後に６つの面がありますが、AとGの両方の点を含ふくんだ面はないということです。ですから『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』というやり方は通用つうようしないんです。

一度ためしに、無理むりにつないでみましょう。

AとGをつなぐと青い線になりますが、やはりこれはまちがいです。このAGという線は、立方体の内部ないぶをつらぬいています。そして三角形ADGは立方体りっぽうたいを途中とちゅうまで切断して、真まん中なかで刃はを止とめたような形になっています。(1)で少し説明したのですが、切断面は大きさが無限むげんなので、途中とちゅうで切るのをやめるのはダメなんです。

これでわかりましたね。『切断面の辺へんは元もとの立体の内部ないぶを通とおっていてはいけない（ルール１）』んです。青い線を消けして、やりなおしてみましょう。

手順てじゅん１に行き詰まったら、手順２に進みます。『すでにわかっている点を始点してんにして、向むかい側がわの面めんにある線せんと平行へいこうになるように、線をひく（手順２）』というのが手順２です。「むずかしい！よくわからない！」と思ったでしょう？でも実じつは簡単かんたんです。やっていきましょう。

今、Aという点を通とおることはわかっているので、これを始点してん（はじまりの点）にします。そして前側まえがわの面めんAEFBに線を引いていくのですが、向むかい側がわの面めんDHGCに注目ちゅうもくします。

面DHGCにはDGという線がもうひかれていますね。このDGと平行へいこうになるように、Aから線をひいていきます。

こうなりますね。AFとDGが平行になっていることに気を付けてください。平行になるということは、その２つの線によって相似そうじの図形ずけいができるということです。今、三角形ABFと三角形DCGが同じ形になっていますね。この相似の図形ができるということに関かんしては、後のちの問題でくわしく説明せつめいすることになると思います。

さて、AFという線をひいたので、切断面は点Fを通ることがわかりました。今、立体りったいを見なおしてみると、新しい点Fと点Gが同一外面上どういつがいめんじょうにありますね。ですからもう一度、手順てじゅん１にもどることができます。

つまり『通ることがわかっている２点が、元もとの立体の同一どういつ平面上へいめんじょうにあれば、それを結むすぶこと（手順てじゅん１）』をすればよいので、FとGをつなげるだけです。

これで切断面せつだんめんの辺へんがつながりました。あとはこの切断面を斜線で塗れば完成かんせいですね。手順てじゅん１→手順２→手順１とくりかえして解といたことを思い出してください。

できあがった切断面AFGDは四角形です。ですから「切断面の形は？」ときかれたら、「四角形です」と答えても間違まちがいではないのですが、特殊とくしゅな形の四角形であれば、どのような四角形かをくわしく答えなければなりません。

特殊とくしゅな形の四角形とは『正方形、長方形、平行四辺形、ひし形、等脚とうきゃく台形だいけい、台形』のことです。

この問題では、ADとFGはどちらも同じ大きさの正方形の１辺なので、同じ長さですね。またAFとDGは同じ大きさの正方形の対角線たいかくせんなので、同じ長さです。もちろん正方形の１辺よりも対角線の方が長いので、全部が同じ長さというわけではありません。

そしてすべての角かくは９０度どです。なぜ９０度と言えるのかが気きになった人は立体図形の才能さいのうがあるかもしれません。これも後のちの問題で説明することになると思います。

『ADとFGの長さが等しい、DGとAFの長さが等しい、すべての角が９０度』ということから、四角形AFGDは長方形だと分かります。