場合の数 苦手分野克服〜算数〜 数字の書かれたカード サピックス 自作教材 算数 小4 小5 小6

数字の書かれたカードで整数を作る問題【中学受験算数】

  • 小学4~6年生向けの算数教材です。
  • 問題・印刷用問題・解答・解き方のコツ(大技・小技・裏技)・解説があります。
  • おおよそ難易度順なんいどじゅんに並んでいます。
  • 4~5年のじゅくのクラス分けテストで頻繁ひんぱん出題しゅつだいされる問題です。
  • 大きく分けると『場合ばあいの数』の範囲はんいです。
  • 3けたの整数を作る問題がほとんどです。
  • 解説かいせつの図が小さい場合は、画像がぞうをクリックして下さい。
  • 問題の後ろの[ ]内の数字はSAPIX偏差値へんさち(2022年用)です。自分の目指めざす学校の偏差値までは解けるようになりましょう。
  • 間違いを見つけた場合や質問がある場合はinfo@katekyou.tokyoまでお願いします。
  • もっと解きたい生徒はこちらに補充ほじゅう問題があります。

 

【問題】

  1. 0,0,1,2の数字の書かれた4まいのカードのうち3まいを使って3けたの整数せいすうをつくります。つくることのできる整数は、全部で こです。(SAPIX43月度入室・組分けテスト2019年)
  2. 1,1,2,3の数字の書かれた4枚のカードで3けたの整数を作るとき、全部で何通りできますか。(城西川越2020年)[30]
  3. 0,1,2,3の数字が1つずつ書かれた4枚のカードがあります。このうち3枚のカードをならべて3けたの数を作ります。3けたの数は何個できますか。(大妻嵐山2020年)[30]
  4. 0,2,3,4,7の数字が1つずつ書かれた5まいのカードのうち、3まいを使って3けたの整数を作るとき、偶数ぐうすうは全部で 通りつくることができます。(SAPIX64月マンスリー2018
  5. 0,1,3,7,8の数字が1つずつ書かれた5まいのカードのうち、3まいを使って3けたの整数を作ります。作った整数のうち、大きい方から17番目の整数は です。(SAPIX43月度入室・組分けテスト2018年)
  6. 0,1,4,5,5の数字の書かれた5枚のカードから3枚をならべて3けたの整数を作ります。このとき奇数きすうは全部で何通りできますか。(SAPIX43月度入室・組分けテスト2021年)
  7. 1,2,3,44枚のカードのうち、2枚を使ってできる2けたの整数は 個あり、そのうち3の倍数は 個あります。(トキワ松2020年)[30]
  8. 0,1,2,4,65枚のカードのうち、3枚を並べて3けたの整数をつくるとき、3倍数ばいすうは全部で 通りあります。(SAPIX43月度復習テスト2021年)
  9. 0,1,2,3,4の数字の書かれた5枚のカードがあります。このカードから3枚を選び、3けたの奇数を作ります。このとき、何種類なんしゅるいの奇数ができますか。(江戸川女子2020年)[34]
  10. 0,1,2,5,8の数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で5枚のカードがあります。この5枚のうち3枚を並べて3けたの整数を作るとき、4の倍数は 通りできます。(SAPIX56月度マンスリーテスト2019年)
  11. 0,1,4,5,9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で5枚のカードがあります。このうち、3枚を並べて3けたの整数を作るとき、3の倍数は何通りできますか。(SAPIX58月度マンスリー確認テスト2013年)
  12. 1,2,3,4,55枚のカードからことなる3枚をえらんでならべて、3けたの整数を作るとき、350より大きい整数はいくつありますか。(法政大学第二2020年)[47]
  13. 0,1,3,4,7,8の数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で6枚のカードがあります。これらの中から3枚を並べて3けたの整数を作ります。このとき、作ることのできる整数の中で小さい方から25番目の数は何ですか。(SAPIX64月度マンスリー2021
  14. 1から333までの整数が書かれたカードが1枚ずつあります。この333枚のカードのうち3の倍数が書かれたカードをすべのぞき、のこったカードのうち4の倍数が書かれたカードを全て取り除きました。次の問いに答えなさい。①カードは全部で何枚取り除きましたか。②その後、残ったカードのうち6の倍数より4小さい整数が書かれたカードを全て取り除きました。(ア) 6の倍数より4小さい整数が書かれたカードは何枚取り除きましたか。(イ) 6の倍数より4小さい整数が書かれたカードを取り除いた後に残ったカードには、5の倍数より2小さい整数が書かれたカードは何枚ありますか。(SAPIX新63月度復習テスト2019
  15. 0,1,2,6の数字4文字と、S,D,Mのアルファベット3文字を組み合わせて7けたの暗証番号あんしょうばんごうを作ります。このとき、① 数字とアルファベットが交互こうごに並ぶような暗証番号は、全部で何通りできますか。また、②0S12DM6』や『S012D6M』のように、数字だけ見ると0,1,2,6じゅんに並び、アルファベットだけを見るとS,D,Mの順に並ぶような暗証番号は全部で何通りできますか。(専修大松戸2020年)[43]
  16. 1,3,4,5,7の数字の書かれた5枚のカードから2枚をえらんで2けたの数を作る時、素数そすうは何通りできますか。ただし、2枚とも同じカードを選ぶことはできません。(筑波大附属2020年)[62]
  17. 1,2,3,7,8,9の6枚のカードがあります。このカードの中から4枚を取り出して、4けたの整数を作ります。① できる数のうち3の倍数で、2番目に大きい数はなんですか。② できる数のうち4の倍数で、もっとも小さい数ともっとも大きい数の和はなんですか。(実践女子2020)[30]
  18. 1から6までの数字が書かれた6枚のカードがあります。この中から3枚を取り出して並べ、3けたの数を作ります。次の問いに答えなさい。① 3けたの数は、全部で何個作れますか。② 作ることができる3けたの数で50番目に大きい数を答えなさい。③ 3の倍数である3けたの数は、全部で何個作れますか。(海城2020年)[58]

PDFで問題を閲覧・印刷する場合はこちら。

 

【解答】

  1. 6
  2. 12
  3. 18
  4. 30
  5. 731
  6. 14
  7. 12、4
  8. 20
  9. 18
  10. 15
  11. 20
  12. 27
  13. 310
  14. 167、28、27
  15. 144、35
  16. 10
  17. 9837,11200
  18. 120,435,48

 

大技おおわざ小技こわざ裏技うらわざ

  • 『カードをならべるタイプの問題』をうまくくためのポイントです。そのわざを使っている問題を解きながら理解りかいしてください。
  • 大技は、知らないと問題もんだいけない、あるいは知らないと解くのが大変になるというもので、かならずおぼえなければならないものです。基本きほん解法かいほうです。
  • 小技は、知っていると間違まちがいがる、あるいは問題を解くのがちょっとらくになるというものです。普通ふつう問題集もんだいしゅうなどではわざわざ解説かいせつしないものです。
  • 裏技は、中学受験じゅけんでは知らなくてもよいけれど、知っていると問題を解くのがとても楽になるというものです。

 

小技①

小技①:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→たてをそろえて書く

樹形図は数えあげるタイプの問題でよく使います。計算の仕方が分からなくても、とにかく書き上げれば解ける方法なので便利ですが、数え間違まちがいがとても多くなるという弱点じゃくてんがあります。樹形図を使って解くとめた瞬間しゅんかんから、『何がなんでもきれいに書く』『絶対ぜったいに数え間違まちがいをしない』という気持ちを持つことが大切です。

樹形図をきれいに書くコツの一つが『タテをそろえる』ということです。

この画像がぞうのように、たてそろえて書くようにしましょう。縦を揃えられないのは、ざつに書くクセが付いているということもありますが、書くことが多くなったときを見越みこして、十分なスペースをのこしていないことが原因げんいんであることが多いです。樹形図全体がおおよそどんな形・大きさになるのかを、予想よそうしてから書きはじめるときれいに書けます。

 

大技①

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

0,1,2,3,4の5枚のカードをならべて、3けたの整数を作ることを考えましょう。

この場合、0は百のくらいにすることができないので、特別とくべつな数字です。ですが、1,2,3,4は全部同じ役割やくわりをしているので、百の位に1にした場合でも、2にした場合でも、3にした場合でも、4にした場合でも、結果けっかは同じになります。ですから、1で始める場合だけ分かれば、あとは4をかけて、答えにすることができます。

さらに言えば、0は百の位にできないという以外いがいでは、他の数字と同じ役割をしているので、十の位が0でも1でも2でも3でも4でも、結果は同じになります。

偶数ぐうすうになる数字を作る』というような問題では、1と3の役割が同じ、2と4の役割が同じ、0の役割は特別、ということになります。

同じ数字が書かれたカードが何枚かある場合には、同じ枚数の同じ数字は、同じ役割をすることになります。

こうしたことが分かっていれば、樹形図じゅけいずを書く場合でも、書くりょうをへらすことができ、間違いをへらすことにつながります。

 

小技②

小技②:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→余計よけいなものは書かない

たとえば(4)の問題のように偶数ぐうすうになる数字を考える場合ばあい、全部の数字を書き上げてから、偶数になるものを数えてもよいのですが、そうすると樹形図がきたなくなります。

第一だいいちに、全部書き上げると、書くことが多くなり図がゴチャゴチャします。できるだけ書くことを少なくすることが大切です。偶数になるものを考えるのであれば、最初から一のくらいが偶数になるものしか書かなければよいです。

第二だいにに、全部のパターンを書き上げてから数えようとすると、鉛筆えんぴつで点などを付けて当てはまるものをチェックしていくことになります。その時に図が汚くなります。この点のしるしがあるせいで、後で見直みなおした時にべつの数字に見えたり、図を訂正ていせいして何度も数えなお場合ばあいに、どれを数えてどれを数えてなかったのか混乱こんらんしがちです。もしも数える時にチェックを付けたいならば、しっかり丸を付けるなど、図が汚くならないように気を付けましょう。

 

大技②

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数のが3の倍数になる』

『数字の書かれたカードをならべる問題』では、3の倍数になる数字を作ることが多いです。書き上げてから、3の倍数かどうかをたしかめていくのは大変たいへんです。かならず『各位の数の和が3の倍数になる』というわざを使いましょう。

たとえば354という数字は、百の位が3、十の位が5、一の位が4ですね。これを足すと3+5+4=12となります。12は3の倍数ですから、354も3の倍数と言えます。もちろん3けたの数でなくても、何桁なんけたの数でも同じ技が使えます。

たとえば35413という数字は、万の位が3、千の位が5、百の位が4、十の位が1、一の位が3ですね。これを足すと、3+5+4+1+3=16です。16は3の倍数ではないですから、35413も3の倍数ではないということになります。

3けたの3の倍数を作る問題では、『さきに和が3の倍数になるカードを3まいめてしまう』ようにします。さらに『小さいじゅんかんがえる』ことも大切です。

たとえば、0,1,2,3,4,5の6枚のカードで、3けたの3の倍数を作る場合ばあいを考えてみましょう。

が3の倍数ばいすうになるカードのみ合わせを考えるのですが、思いいたじゅんではなく、3,6,9,12というように、小さい順に考えていきます。

3枚のカードの和が3になるのは、(0,1,2)のカードをえらんだ場合だけです。この0,1,2の数字はどうならえても3の倍数になります。ただし0を1番上のくらいにすることはできないので、102,120,201,210の4通りですね。

3枚のカードの和が6になるのは、(0,1,5)のカードを選んだ場合、(0,2,4)のカードを選んだ場合、(1,2,3)のカードを選んだ場合です。このように先にカードの選び方を考えて、その後でそれぞれを並びえます。0が入っている組み合わせは4通りに並び替えられます。0が入っていなければ6通りの並び替えかたがあります。

あとは同じように3枚の和が9,12になる場合を考えていけばよいですね。

 

大技③

大技③:4の倍数ばいすうであれば『下二桁しもふたけたの数が4の倍数になる』

4の倍数になる数字を考える場合には、『しも二桁ふたけたが4の倍数になる』というわざを使います。これはかならおぼええなければならないことです。

下二桁とは、いちくらいじゅうくらいのことです。100が4でれるので、どんな数であっても、百の位より上は4で割り切ることができます。

624という数であれば、百の位である600はかならず4で割り切れます。そして下二桁の24も4で割り切れるので、624は4の倍数であると言えます。

623894という数であれば、百の位より上の623800は必ず4で割り切れます。これはたしかめる必要がありません。下二桁の94だけを4で割ってみましょう。94÷4=23あまり2なので、94は4の倍数ではありません。ですから、623894も4の倍数でないと分かります。

 

大技④

大技④:『それぞれの場合ばあいに○○通りある』ならば、かけ算で計算する

場合ばあいの数の問題で、かけ算すればよいのか、し算すればよいのかからなくなるという生徒せいとがいます。なかなかむつかしい問題なのですが、『それまでえらんだものの、それぞれにたいして〇〇通り』という場合には、かけ算になります。『それぞれに対して』というのがポイントですね。

ハンバーガーショップで、バーガーとサイドメニューとドリンクを選ぶことを考えてみましょう。

最初さいしょにバーガーとサイドメニューについて考えます。どのバーガーを選んだとしても、その『それぞれに対して』好きなように、3通りのサイドメニューの中から選ぶことができます。

チーズバーガーを選べば、(チーズバーガー・ポテト),(チーズバーガー・サラダ),(チーズバーガー・ナゲット)という組み合わせですね。てりやきバーガーであっても、同じように3通りの中から選べます。だからバーガー2種類しゅるいとサイドメニュー3種類をかけ算します。2×3=6ですから、バーガーとサイドメニューの選び方は6通りあることになります。

バーガーとサイドメニューをめた後、ドリンクを選ぶことを考えてみましょう。バーガーとサイドメニューを何にしても、その『それぞれに対して』好きなドリンクを3種類の中から選ぶことができます。たとえばチーズバーガーとポテトを選んだ後に、ドリンクを3種類の中から選ぶことができます。チーズバーガーとサラダを選んだ後であっても、同じように、ドリンクを3種類から選ぶことができますね。

バーガーとサイドメニューの選び方が6通りあって、その『それぞれに対して』3通りのドリンクの選び方があるのですから、6×3=18通りの選び方があることになります。

では、ハンバーガーショップのとなりにラーメン屋があって、そちらで食事をしてもよいという場合について考えてみましょう。

ハンバーガーショップでのメニューの選び方は18通りだとします。またラーメン屋には醤油しょうゆラーメンか豚骨とんこつラーメンのどちらかしかないとします。

この時、ハンバーガーショップで食事しょくじをしたあとにラーメンてんに行くわけではありません。どちらか一方いっぽうですね。ラーメン店に行くと決めたらなら、バーガーやサイドメニューやドリンクの選び方は考える必要ひつようがありません。つまりハンバーガーショップでのメニューの選び方のそれぞれに対して、ラーメンの選び方があるわけではありません。

単純たんじゅんに全体として選び方がえただけなので、し算をすればよいということになります。18+2=20で、食事の選び方は20通りになります。

まんいちとてもたくさん食べる人で、ハンバーガー店で食事をした後に、さらにラーメン店で醤油ラーメンか豚骨ラーメンのどちらかを食べるということであれば、計算けいさんが変わります。ハンバーガー店でのメニューの選び方の『それぞれに対して』、2種類のラーメンの選び方があることになるので、18×2=36通りになります。

 

裏技①

裏技①:同じ種類しゅるいのものがふくまれるものをならえる時は公式こうしき

本当は中学・高校で学ぶ内容ないようですが、知っていると中学受験で有利ゆうりになる上、出番でばんも多いので、おぼえておきましょう。公式こうしきをそのまま見せても分かりにくいので、具体的ぐたいてきな問題で考えていきましょう。『○を3つ、×を2つ並べる方法は何通りあるのか』という問題です。

○と×という2種類しゅるいのものをならべるのですが、○同士どうしや×同士は区別しません。こういう問題の時に使える公式です。

上の画像がぞうとおり、全部書き上げるのは大変たいへんですよね。もっと数字が大きくなったら書き上げることができなくなります。ですから、こうした問題は公式で解きましょう。

公式で解く時、分子に入る最初の数は3+2=5です。これは○と×の数の合計です。これを1になるまでかけます。実際には1をかけても意味いみはないので、2まででよいです。

分母は、2種類のもののそれぞれの個数を1までかけていきます。○は3個なので、それを1までかけていきます。×は2個なので、これも1までかけていきます。あとは計算するだけですが約分やくぶんできるので、計算はらくです。

公式を分かりやすくまとめると、下のようになります。

3種類しゅるい以上いじょうのものをならべる時も使えます。あと2もん具体的ぐたいてきな問題を見ておきましょう。

 

 

 

【解説】

(1)

樹形図じゅけいずに書き上げるのが、場合の数の基本です。その時、同じけたをタテにそろえて書くようにしましょう。デコボコした樹形図は、数え間違まちがいのもとです。

小技①:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く・・・たてをそろえて書く

見てすぐに分かる通り、答えは6通りです。0は百の位にすることができません。1と2はこの問題では同じ役割やくわりをする数字なので、1から始めて3通りだったことから、2から始める図は書かなくても、3通りと分かります。

答えは樹形図から6通りです。

 

(2)

これも樹形図じゅけいずを書いて解くと良いでしょう。樹形図を書くときは、『かぞえもれ』と『かぞ間違まちがい』がないように、ていねいに書くことが大切です。『タテのラインをそろえること』や『それぞれの図が何通りになるか分かりやすく書いておく』のがコツです。

この問題では、1のカードは2枚あるので特別、2と3は1枚ずつなので同じ役割をしています。2で始めた場合と、3で始めた場合が同じになることが分かっているので、3で始めた図は書かなくてもよいです。もちろん自信がなければ書いてもかまいません。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

答えは6+3+3=12通りです。

 

(3)

樹形図じゅけいずで書いてもいいし、計算でいてもいいですね。樹形図で書くなら図をきれいに書くこと。

小技①:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く・・・たてをそろえて書く

また百の位は1でも2でも3でも同じ結果けっかになります。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

計算で解くなら、百のくらい・十の位・一の位に入る数字のパターンをかければよいですね。

答えは3×3×2=18通りです。

 

(4)

偶数ぐうすうになるものを考えるので、一の位が偶数になるように樹形図じゅけいずを書けばいいですね。

場合の数は、さまざまな場合を全部書きあげるのが基本ですが、本当に全部書くと計算スペースがグチャグチャになってしまうし、時間もかかりますね。『書きあげる時こそキレイに』、『書きあげる時にも省略しょうりゃくできるところは省略する』ことが大切です。

というわけで、一の位を全部書いて偶数だけを後から数えるのではなく、最初から偶数だけを書いた方がきれいに仕上がります。

小技②:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→余計よけいなものは書かない

また2から始める場合と4から始める場合は、どちらも偶数なので、同じ図になります。3と7も奇数同士なので、同じ図になります。つまり百の位が2と3の図だけ書けば十分です。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

答えは6+9+6+9=30通りになります。

 

(5)

上から17番目ということなので、百のくらいが8になる場合ばあいが何通りあるか、ということから考えます。樹形図じゅけいずを書いてもいいですが、スッキリした解き方になるように、計算で出してみましょう。百の位が8に決まっているので、十の位と一の位を決めればいいですね。十の位は0,1,3,7のどれかで4通り、一の位は十の位で選んだ数字は使えないので3通りになります。だから百の位が8の整数は12通りできます。

上から12番目までは分かったので、あとは上から5通り数えればいいですね。これはどうやら百の位が7になる数字が答えになりそうです。ですから、あとは全部書きだしてみましょう。『書きあげる時こそキレイに!』でしたね。きれいに書くには数字のタテをそろえること、よけいなことは書かないことが大切です。

小技①:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く・・・たてをそろえて書く

小技②:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→余計よけいなものは書かない

ていねいに書けば、答えが分かります。731ですね。

 

(6)

これも樹形図じゅけいずを書いていくのがよいです。計算で出そうとすると、やっかいなことになります。3ケタの整数を作る問題では、それほど多くの場合があるわけではないので、書き上げることが基本です。

書き上げるときはきれいに書くことが、間違まちがえないための1番のポイントになります。きれいに書くコツは、タテをそろえることと、余計よけいなものを書かないことです。この問題では最後が偶数ぐうすうになるパターンは、答えとして当てはまらないのですから、書かない方がきれいに仕上がります。

小技②:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→余計よけいなものは書かない

また樹形図に書いたパターンを数え上げる時、大きくチェックを付けて数えるのもやめた方がよいでしょう。間違いに気づいて、数えなおしたり樹形図を書きしたりする場合に、図がきたなくなっていると混乱こんらんします。

樹形図を書けばむずかしい問題ではないですが、『0から始まることはない』『5を2回使うこともある』ということに気を付けましょう。

またこまかいことですが、全部のパターンを一気いっきに数えるのではなく、1ではじまる場合ばあいが3通り、4で始まる場合が5通り、5で始まる場合が6通りと、けて書いていき、最後さいごした方がミスが少なくなります。

樹形図を書いて、足して、答えは14通りです。

 

(7)

たった2ケタなので、計算するよりも樹形図じゅけいずを書く方がよい問題。出題校しゅつだいこうのレベル的にも、丁寧ていねいに図を書けるかどうかをためす問題だと思われます。ただし、よりむつかしい問題に対応たいおうできるよう、ここでは計算でく方法を説明します。

まずカードのためのせき(カードをく場所)が2つあるというふうに考えます。1つ目の席には1,2,3,4のどのカードを置いてもよいので、4通りが考えられますね。2つ目の席に置けるのは、1つ目の席に置かなかったカードなので、3通りが考えられます。

4×3=12

なので、答えは12個

このうちの3の倍数になるものについても、全部のパターンを書き上げればかんたんに解けます。ただし、3の倍数を作る問題はよく出るので、ここでは工夫くふうして解く方法を説明します。

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数の和が3の倍数になる』

このことをしっかりおぼえておいて下さい。たとえば『123123123(1億2312万3123)』という数字は、各位の数字を足すと、

1+2+3+1+2+3+1+2+3=18

18となります。18は3の倍数なので、『123123123』も3の倍数と言える、ということです。

この問題では1,2,3,4の中から2枚のカードしか使えないので、その2枚のカードの数字の和が3の倍数になるのは、『1と2を選んで和が3になる場合』と『2と4を選んで和が6になる場合』しかありません。

和が3の倍数になっていれば、どのような順番じゅんばんならべても3の倍数になるので、答えは12,21,24,42の4個になります。

この12,21,24,42がちゃんと3の倍数になっているか、ためしに3でってみてもよいでしょう。

 

(8)

和が3になるという問題は、

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数の和が3の倍数になる』

という『わざ』を使います。この問題では、全部のパターンを書き出して、3で割れるかどうかたしかめていくのでは、時間がかかりすぎます。

0,1,2,4,6のカードの中から3まいえらんで、その3つの数字をした合計ごうけいが3の倍数になるように考えていきます。このとき思いつく順番じゅんばんにバラバラに考えるのではなく、小さい順に考えていくようにしましょう。まずはが3になる場合を考えます。0,1,2のカードを使えば、0+1+2=3になりますね。

各位かくくらいの数字の和が3の倍数になっていれば、数字の順番が入れわっても、3の倍数になるので、0,1,2のカードを並べ替えます。百の位に0をくことはできないので、102,120,201,210の4通りになります。このように並び替える時も、小さい順に考えるようにしましょう。

次は和が6になるように考えます。3まいのカードをえらんで、合計を6にするためには、0,2,4を選ぶしかありませんね。0,2,4を並び替え方は、204,240,402,420の4通りになります。これは和が3になる場合と同じなので、全部の通りを書き上げなくてもかまいません。

次は和が9になるように考えます。1,2,6のカードを選べばいいですね。これは0のカードが入っていないので、並び替え方が4通りにはなりません。126,162,216,261,612,621の6通りですね。

和が12になる場合も6通りになります。以上を足して

4+4+6+6=20

なので、答えは20通りになります。

 

(9)

まずは百のくらいが1の場合を樹形図じゅけいずに書いていきましょう。奇数きすうにしなければならないので、一の位が奇数になるものだけ書いていきます。一の位が偶数ぐうすうになるものも含めて全部書き出して、後で奇数になるものを数えるのはおすすめしません。樹形図はきれいに書くのが何よりも大切です。

小技②:樹形図じゅけいずはとにかくきれいに書く→余計よけいなものは書かない

百の位が1の場合は、1のカードを使ってしまっているので、一の位で使える奇数のカードは3しか残っていません。一の位は3にするしかないですね。百の位が1の場合は3通りになります。

次に百の位が2の場合を樹形図にします。今度は奇数の1と3のカードが残っているので、一の位は1か3になります。樹形図を書くと、2で始まる場合は6通りあるとわかります。

百の位が3の場合は、1ではじまる場合と同じです。なぜかというと、3と1は同じ奇数で、どちらも1枚ずつしかないからです。3のカードと1のカードは、この問題では同じ役割やくわりをしているから、入れえても同じに結果けっかになるということです。ですから3で始まる場合は3通りになります。

百の位が4の場合は、2で始まる場合と同じになります。これは2と4が同じ役割をしているからですね。ですから、4で始まる場合は6通りになります。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

以上いじょうして

3+6+3+6=18

答えは18種類になります。

 

(10)

大技③:4の倍数ばいすうであれば『下二桁しもふたけたの数が4の倍数になる』

という『わざ』を使います。下二桁というのは、一のくらいと十の位のことです。たとえば下二桁が40であるとします。40は4の倍数ですね。この場合、40の上にどんな数字がつづいていても、それは4の倍数になります。たとえば12345678940(123おく4567万8940)も4の倍数です。

3の倍数と、4の倍数と、6の倍数を作る問題はよく出るので、おぼえておいてください。

小さいじゅんに考えるので、まずは下二桁しもふたけたを04にしたいのですが、4のカードがないので作れません。04の次は08を考えます。これはできますね。 百の位には何を入れてもよいので、あまっているカードを使って、108,208,508の3通りになります。

次は下二桁が12になる時です。この場合は百のくらいには5か8しか入りません。0のカードを1番上の位に入れることができないからですね。ですから下二桁が12の場合は、512と812の2通りになります。

同じようにして、下二桁が4の倍数になるパターンを考えていきます。下二桁に0がふくまれている場合は3通り、下二桁に0が含まれていない場合は3通りになります。

このように丁寧ていねいに書いていくと、簡単かんたんに答えが出せますね。答えは15通りになります。

かぞ間違まちがいや数えわすれが出ないように、きれいに書くこと、規則性きそくせいをもって書くこと(思いついたじゅんに書かないこと・小さい順に書くこと)が大切です。

 

(11)

和が3になるという問題は、

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数の和が3の倍数になる』

という『わざ』を使います。(7)と(8)でも、3の倍数にかんする問題が出てきましたね。この問題は3ケタの整数を作るので、3枚のカードをえらぶのですが、そのカードの数字を足して3の倍数になるようにします。

まずは3枚のカードの数字の合計ごうけいが3になる場合ばあいを考えますが、これはできません。

次に3枚のカードの合計が6になる場合を考えると、(0,1,5)のカードを使えばよいですね。この(0,1,5)のカードを使えば、どのようにならべても、できあがった整数は3の倍数になります。ただし、百の位に0をいてしまうと、3ケタの整数にならないので、そのような並べ方をしてはいけません。ですから、この場合は105,150,501,510の4通りの整数ができます。

この後もつづけて、カードの数字の合計が9になる場合、12になる場合、15になる場合、18になる場合とたしかめていきます。ミスをしないためには小さい順に、丁寧ていねいに書き上げていくことが大切たいせつです。

(0,1,5)と(0,4,5)のカードを使う場合は、どちらも4通りになります。また、(1,5,9)と(4,5,9)のカードを使う場合は、どちらも6通りになります。0が入っているかどうかで、結果けっかが変わってくるんですね。それが分かっていれば、並びかえ方を全部ぜんぶ書き出す必要ひつようはありません。

上の画像がぞうをみると、くのが面倒めんどうに思えるかもしれませんが、れてくると下の画像のように、かんたんに解くことができるようになります。たくさん練習れんしゅうをして、間違まちがえないためにどうすればよいのか、どれを書かずにすませられるのかを、自分なりに工夫くふうしていきましょう。

答えは20通りです。

 

(12)

350より大きいものを書いていきます。百のくらいが3の場合は、351と352と354しかありません。

百の位が4の場合は、樹形図じゅけいずに書いてみると、12通りあることが分かります。12通りを全部書くのは少し大変たいへんなので、計算で出してもよいです。

百の位が5の場合も、百の位が4の場合と同じで12通りになるので、樹形図を書いたり計算する必要ひつようはありません。この問題では4と5が全く同じ役割やくわりをしているので、4と5を入れえても同じ結果けっかになるんですね。もしも『偶数ぐうすうになる整数を考える』とか『3の倍数ばいすうになるものを考える』とか『4のカードは1枚だけど5のカードは2枚ある』などの条件じょうけんべつにある場合は、同じ結果になりません。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

3で始まる場合が3通り、4で始まる場合が12通り、5で始まる場合が12通りなので

3+12+12=27

答えは27通りです。

 

(13)

小さい方から25番目なので、まずは百のくらいが1の場合が何通りあるのかを考えていきます。

樹形図じゅけいずで全部書いてもよいですが、かなり多くなるのであまりオススメしません。上の画像がぞうにあるように、計算で求めた方がよいでしょう。百の位が1の場合だけで20通りあることが分かるので、あとは下から5通り目を考えればよいですね。

次は百の位が3の場合です。その中で小さいじゅんに、樹形図に書いていきます。樹形図はかぞ間違まちがいをしやすいので、無駄むだな所は書かないことが大切です。百の位が1の時だけで20通りあったので、百の位が3の中で1番小さい301は、全体の21番目です。あとは分かりやすいように丁寧ていねいに番号をつけていきましょう。答えは310です。

 

(14)

一見いっけんこれまでと同じような問題に見えますが、『カードをならべて整数を作る問題』ではありません。またこれはサピックスのテストの中でもうしろの方に出題しゅつだいされる、思考力しこうりょく問題・応用おうよう問題なので、算数が苦手にがてな人は無理むり必要ひつようはありません。

色々なき方が考えられますが、①はベンを書く方法で解いてみましょう。上の画像がぞうのように、円を2つ書いて、ア・イ・ウの3つの部分ぶぶんに分けます。左の円が3の倍数を表しています。右の円は4の倍数です。

1~333までに3の倍数は111個あるので、左の円は111の大きさをあらわします。ただしこの時はまだ、円の中に111と書かないほうがよいです。111という数字がアだけのものなのか、アとイを合わせたものなのかが、分からなくなってしまうからです。まずは111を左の円の外側そとがわに書いておきます。

同じように、4の倍数は83個あるので、これも右の円の外側に書いておきます。

円の重なっているウの部分は『3の倍数であり4の倍数でもある数』を表しています。『3の倍数であり4の倍数でもある数』というのは、3と4の最小公倍数である12の倍数です。1~333までの間に、12の倍数は27個あります。この27という数字はイの部分だけを表しているので、イの中に27と書いてかまいません。

イがまったあとに、アとウを書き入れていきます。アとイを合わせたものが3の倍数なのですから、111-27=84より、アが84と分かります。同じようにウも、83-27=56と分かります。

ベン図はこのように、いくつかの部分ぶぶん合計ごうけいが分かっていても書き入れない、各部分かくぶぶんが決まってから書き入れる、ということを守るときれいに書けます。

取りのぞいたカードは、ベン図のア・イ・ウの部分の合計なので、答えは111+56=167枚です。小さなことですが、アとイの合計は最初から111だと分かっていることを使えば、84+27+56と、3つの足し算をする手間てまはぶけけます。

次に②の問題を解いていきます。①の後に残ったカードから『6の倍数より4小さい整数の書かれたカード』を取りのぞいていくということですが、『6の倍数より4小さい整数』とは具体的には2,8,14,20・・・といった数になります。6の倍数を使っているので、整数が6進むごとに出てくるカードですね。

①は3の倍数と4の倍数を使っていました。それに加えて、6ごとにくり返す数字を使うので、3と4と6の最小公倍数さいしょうこうばいすうである12ずつのグループを考えます。ちなみに3と4の最小公倍数も12なので、そこに6が入っても最小公倍数は変わりません。

1~12までの数字を書いてみます。そこから問題文に書かれている手順通てじゅんどおり、まずは3の倍数を取り除きます。上の画像がぞうでは赤の斜線しゃせんで書いてあります。次に4の倍数を取り除きます。画像では青の斜線で書いてあります。最後に『6の倍数より4小さい整数』を取り除きます。画像では緑の丸で書いてあります。2と8ですね。

ただし、2のカードは普通ふつうに取り除いていますが、8のカードは4の倍数を取り除いた時にすでになくなっているので、②の問題では取り除いていないことになります。ですから、1~12の中で『6の倍数より4小さい整数』を取り除いたのは、2の書かれたカード1枚だけになります。

次の12枚のカードである、13~24のグループを考えても、同じ結果けっかになります。取り除くのは、14が書かれたカード1枚だけになります。

24より大きい数字についても、同じように12枚のグループの中から、1枚を取り除いていくことになります。

1~333までの中に、12枚のグループは

333÷12=27あまり9

27グループあるので、1グループに1枚、つまり27枚取り除くことになります。

さらに、各グループの中の前から2番目のカードを取り除いているのですから、あまりの9枚の中からも1枚取り除くことになります。ですから答えは28枚となります。

②の(イ)の問題を解いていきます。すでに3の倍数、4の倍数、6の倍数にかかわるカードを取り除いている状態じょうたいであることに注意してください。その上で、5の倍数に関わるカードを数えるのですから、3,4,5,6の最小公倍数である、60枚ずつのグループを考える必要ひつようがあります。

60までの数字を書いて、『3の倍数』『4の倍数』『6の倍数よりも4小さい数』を消して、その中から『5の倍数よりも2小さい数』を数えればよいですね。

ただし、60まで書き上げるのは大変たいへんなので、ここでは先に『5の倍数よりも2小さい数字』を60まで書いて、その後で『3の倍数』『4の倍数』『6の倍数よりも4小さい数』を消していく方法にします。

60までの『5の倍数よりも2小さい数字』は3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58の12個です。ここから『3の倍数』『4の倍数』『6の倍数よりも4小さい数』を消すと、13,23,43,53,58の5枚がのこります。これで1~60のカードのうち『5の倍数よりも2小さい数字』は、5枚残っているということが分かりました。

61より大きい数でも、同じことが60枚ずつのグループでくり返されます。1~333までの間に60枚のグループが

333÷60=5あまり33

5グループあるので、1~300までに『5の倍数よりも2小さい数字』は25枚あることになります。

さらに、あまりの33枚のうち、前から13,23番目の数字(313と323のカード)も『5の倍数よりも2小さい数字』としてのこっているものになります。この2枚をくわえて、答えは27枚です。

 

(15)

出題した中学校の偏差値[43]にしては、かなり難しい問題です。難関校なんかんこう目指めざす6年生だけがければよいです。もちろんチャレンジしたい生徒は、5年生で解いてみてもかまいません。そしてこの問題も(14)の問題と同じで、カードをならべて整数を作る問題ではありません。

①を解いていきます。数字とアルファベットが交互こうごならぶためには、数字から始まる必要があります。『数字→アルファベット→数字→アルファベット→数字→アルファベット→数字』の順番じゅんばんしかありませんね。もしアルファベットで始まったら『アルファベット→数字→アルファベット→数字→アルファベット→数字→数字』となり、最後さいごに数字が連続れんぞくしてしまいます。

数字とアルファベットの場所はこれで決まりました。あとは数字の中での0,1,2,6の並び方と、アルファベットの中でのS,D,Mの並び方を決めるだけです。

0,1,2,6の並べ方は24通りあります。この問題では、1番左に0が入ってもかまわないので、4つのものを好きなように並べればよいので、4×3×2×1=24です。

S,D,Mの並べ方は6通りあります。同じように、アルファベットも3つのものを好きなように並べるだけなので、3×2×1=6となります。

数字の並べ方が24通りあるのですが、数字をどのように並べたとしても、その『それぞれに対して』、アルファベットは6通りの並べ方ができるので、全体の並べ方は

24×6=144通り

となります。このようにある場合の数を決めて、その『それぞれに対して』、さらに何通りも場合があるような時には、かけ算をする必要があります

大技④:『それぞれの場合ばあいに○○通りある』ならば、かけ算で計算する

②は計算はたいしたことがないですが、考え方がむずかしいです。

数字だけ見た時のならび方は変わらないということですから、もう0,1,2,6という数字の中での区別くべつはいりません。数字は全部○とあらわしましょう。

同じようにアルファベットも、いつもS,D,Mの順番じゅんばんなのですから、SDMを区別しないで×とだけ表すことにします。

○を4つと×を3つ並べるだけで、0,1,2,6,S,D,Mの並び方が自然と決まるということです。上の画像がぞうにあるように、たとえば○×○○××○という並び方にすれば、0S12DM6という暗証番号あんしょうばんごうに決まるわけです。

『○4つと×3つを並べる方法が何通りあるか』を求めれば、それが答えになると分かりました。ではそれをどのように求めればよいでしょうか。

色々な求め方が考えられますが、たとえば図のようにアイウエオカキと書かれたカードを並べます。その中から3枚選ぶことを考えます。その3枚を×、選ばなかったカードを○とすれば、○4つと×3つを並べることができます。

たとえば、上の画像にあるように、アエオのカードを選んでそれを×とするならば、○と×の並び方は×○○××○○となり、それを数字とアルファベットに置きかえると、S01DM26となります。つまり『○4つと×3つを並べる方法が何通りあるか』は『7枚のカードから3枚を選ぶ方法が何通りあるか』と同じです。

7枚のカードから3枚を選ぶには、7×6×5をしておいて、後で6で割ればよいですね。3枚選ぶのですが、選んだ3枚の並び方は考えないので、重複ちょうふくする6回で割る必要があります。

7×6×5÷6=35

より、答えは35通りです。

解説かいせつが長くなってしまいましたが、『○4つと×3つを並べる方法が何通りあるか』の計算方法を、公式こうしきとしておぼえておくのも一つの手です。

裏技①:同じ種類しゅるいのものがふくまれるものをならえる時は公式こうしき

『2種類のものが、それぞれ何個かあるとき、それを並びかえる方法が何通りあるのか』というのは、数学すうがくでいつか習うことになる公式です。その計算方法を説明します。○と×を合わせると7個ですね。ですから7から1まで順番にかけます。

7×6×5×4×3×2×1

となります。その後、『○4つと×3つ』ですから、4から1までと、3から1まででります。ややこしく感じるかもしれませんが、れたら簡単かんたんです。

$$\frac {7×6×5×4×3×2×1}{4×3×2×1×3×2×1}=35$$

となりますね。一気いっき約分やくぶんできるので、計算も簡単です。

これは3種類以上のものを並べるときにも使えます。たとえばこのページの(2)の問題のように、1,1,2,3という数字が書かれたカードがあったとき、これは全部で4枚ですね。そして同じ種類のものはそれぞれ2枚,1枚,1枚あります。この並び方が何通りあるかというと

$$\frac {4×3×2×1}{2×1×1}=12$$

というように計算できます。

 

(16)

素数そすうの問題はよく出るので、1~100までの素数は暗記あんきしてしまいましょう。この問題でもそうですが、素数かどうかを一つ一つ確認かくにんしていたらおそくなってしまいますし、間違まちがいも多くなりますね。

素数の暗記の仕方は、こちらのページにまとめてあるので、必ず暗記してください。

まず素数を問題用紙ようしか計算用紙に全部書いてしまいます。あとは1,3,4,5,7を使って作ることのできる数字にマルを付けていくだけですね。間違まちがえないように丁寧ていねいに数えて、答えは10通りです。

 

(17)

出題校しゅつだいこう偏差値へんさちはそれほど高くありませんが、意外いがいむつかしい問題です。

①をいていきます。3の倍数ばいすうといっても、上から2番目をもとめるだけですから、大きいじゅん樹形図じゅけいずで書き上げていきましょう。

ある程度ていど書き上げた後に、3の倍数かどうかを確認かくにんしていきます。

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数の和が3の倍数になる』

という法則ほうそくを使って確認すればよいですね。

1番大きい3の倍数ばいすうは9873です。これは各位かくくらいが27です。27は3の倍数ですから、9873も3の倍数といえます。

2番目に大きい3の倍数は9837です。これは9873の3と7を入れえただけなので、和は同じ27です。これが答えになります。

②を解いていきます。まずは樹形図じゅけいずを書いて、その中から目的もくてきの数字をさがすという方針ほうしんは①と変わりません。ただし今度は4の倍数ですから、

大技③:4の倍数ばいすうであれば『下二桁しもふたけたの数が4の倍数になる』

という法則ほうそくを使います。

最大の4の倍数はすぐに見つかります。9872です。下二桁しもふたけたの72が4の倍数なので、9872も4の倍数といえます。

最小の4の倍数はなかなか見つかりません。『千の位が1、百の位が2』のときは、残りの数字が3,7,8,9ですが、これで4の倍数を作ることはできません。樹形図じゅけいずで全部書いてたしかめてもかまいません。

『千の位が1、百の位が3』のときは、残りの数字が2,7,8,9なので、4の倍数を作ることができそうです。2と8が偶数ぐうすうなので、4の倍数が作りやすいんですね。小さい順に書いてみると、1328が4の倍数になります。28が4の倍数なので、1328も4の倍数になるんですね。

最大のものと最小のものの和なので

9872+1328=11200

答えは11200です。

 

(18)

海城かいじょうの問題としてはかなり簡単かんたんです。じゅくなら普通ふつう内容ないようをしっかり理解りかいしていれば、すぐに解けます。

1~6の数字をならべて3けたの整数を作るのですが、0がふくまれていませんし、同じ数字は1度ずつしか使いません。『偶数にしなさい』などの条件じょうけんもないので、シンプルにならえるだけです。

数が大きくなるので、全部書き出すことはできません。計算で解きましょう。

上の画像がぞうの通り、百のくらい、十の位、一の位のための場所ばしょを作り、そこに何通なんとおりの数字が入るのかを考えていきます。

百の位から考えていった場合、1~6のどの数字を入れてもよいので、6通りになります。十の位には、百の位でえらんだ数字以外いがいならどの数字を入れてもよいので、5通りになります。一の位には、百の位と十の位で選んだ数字以外ならどの数字を入れてもよいので、4通りになります。以上をかけ算して

6×5×4=120通り

答えは120通りです。

大きいじゅんならべた時の50番目ということなので、書き上げてもできる問題です。ただ50通りを全部書くのは大変たいへんなので、途中とちゅうまでは計算していきましょう。

百のくらいに6が入る場合ばあいだけで、何通りあるのか考えてみます。十の位には1~5の5通りの数字が入ります。一の位には、1~5の中で十の位でえらばなかった4通りの数字が入ります。ですから百の位が6の場合は、5×4=20通りあることがわかります。

百の位が5の場合も同じです。この問題では、偶数ぐうすう奇数きすうのような指定していがないですし、どのカードも1枚ずつなので、6と5は同じ役割やくわりをしていますね。ですから百の位が5の場合も20通りになります。

大技①:『同じ役割やくわり』をする数字同士どうしは、入れえても結果けっかが同じになる

ここまでで、大きいじゅんに40通り数えたことになるので、あと10通りです。百の位が4の場合の中に答えがありそうなので、のこりは樹形図じゅけいずで書いていきます。丁寧ていねいに、大きい順に書いていくだけです。

答えは435です。

大問だいもんの中の、3番目の小問しょうもんですが、これもたいしたことのない問題です。

大技②:3の倍数ばいすうであれば『各位かくくらいの数のが3の倍数になる』

3の倍数にかんする問題ではこの法則ほうそくを使うんでしたね。

3けた各位かくくらいが3になるものから考えていきます。これは111しかないですが、同じ数字は1回しか使えませんから無理むりです。

各位の和が6になるのは、(1,2,3)の数字を選んだときです。この3つの数字のならえ方は、123,132,213,231,312,321の6通りあります。計算で出すならば、3×2×1=6です。

次に各位の和が9になるになる場合ばあいを考えます。和が9になる数字のえらび方は(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4)の組み合わせです。そしてそれぞれが6通りにならえられるので、18通りになります。

同じように和が12になる場合、15になる場合を書き上げていけば、答えになります。答えは48ですね。

数字に0が入っていれば、それを百の位にすることができないので、並び替え方は4通りになります。数字に4が入っている問題が多いのですが、これは全ての並び替え方が6通りなので、最初に和が3の倍数になる数字の選び方を書き出してしまってから、6をかければ、それが答えになります。

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